日常法律问答解答参考：
办理收养登记手续的机关是县级以上人民政府民政部门。当事人应该向收养登记机关申请收养登记，县级以上人民政府民政部门应当依法进行收养评估，符合条件的，进行登记，收养关系自登记之日起成立。
相关法律：
《中华人民共和国民法典》 第一千一百零五条
【收养登记、收养公告、收养协议、收养公证、收养评估】收养应当向县级以上人民政府民政部门登记。收养关系自登记之日起成立。
收养查找不到生父母的未成年人的，办理登记的民政部门应当在登记前予以公告。
收养关系当事人愿意签订收养协议的，可以签订收养协议。
收养关系当事人各方或者一方要求办理收养公证的，应当办理收养公证。
县级以上人民政府民政部门应当依法进行收养评估。